Признаки сравнения рядов.

Признаки сравнения рядов.

Министерство образования Русской Федерации

Волгоградский муниципальный архитектурно-строительный институт

Кафедра высшей арифметики

РЯДЫ

Методические указания и личные задания

К контрольной работе № 9

Волгоград 2004


УДК 517.537(076.5)

Ряды: Методические указания и личные задания к контрольной работе № 9 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, И.П. Руденок; ВолгГАСА. Волгоград, 2004. — 12 c.

Содержатся короткие теоретические сведения и эталоны решений типовых задач контрольной Признаки сравнения рядов. работы.

Для студентов 2-го курса института дистанционного обучения всех специальностей, не считая ЭУС, по дисциплине “Математика”.

Библиогр. назв. 3

План учеб.-метод. документ. 2003 г., поз. 10

Зав. редакцией О.Е. Горячева

Редактор Л.М. Ельцова

Компьютерная верстка К.В. Катеринин

Подписано в печать 12.05.04. Формат 60×84 1/16

Бумага офсетная. Печать трафаретная.

Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 0,7. Уч.-изд. л Признаки сравнения рядов. 0,75.

Тираж 300 экз. Заказ №

Волгоградский муниципальный архитектурно-строительный институт

Редакционно-издательский отдел

Сектор оперативной полиграфии ЦИТ

400074, Волгоград, ул. Академическая, 1


Главные ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

Числовые ряды. Главные понятия

Определение 1.Пусть дана нескончаемая последовательность чисел Выражение

(1)

именуется числовым рядом.

Выражение для n-го члена ряда именуется общим членом ряда и обозначается .

Кратко ряд записывается так Признаки сравнения рядов.: .

Определение 2.Сумма конечного числа n первых членов ряда именуется n-й частичной суммой ряда и обозначается .

Определение 3.Если при существует конечный предел , то его именуют суммой ряда и молвят, что ряд сходится.

Если при предел n-й частичной суммы не существует либо он нескончаем, то молвят, что ряд Признаки сравнения рядов. расползается и суммы не имеет.

Нужное условие сходимости ряда

Аксиома.Если ряд (1) сходится, то при его общий член стремится к нулю:

. (2)

Замечание 1. Если для некого ряда либо этот предел не существует, то ряд расползается.

Замечание 2. При выполнении условия (2) исследуемый ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, и потому вопрос Признаки сравнения рядов. о сходимости ряда решается при помощи достаточных признаков сходимости.

Достаточные признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов

1. Признак Даламбера.Если , то при ряд сходится, при ряд расползается, при признак ответа не дает.

2. Признак Коши (конкретный).Если , то при ряд сходится, при ряд расползается, при признак ответа не дает.

3. Интегральный признак Коши Признаки сравнения рядов..Пусть члены ряда являются значениями непрерывной функции при целых значениях x и однообразно убывает на промежутке . Если несобственный интеграл существует, то данный ряд сходится, если не существует, то ряд расползается.

Признаки сопоставления рядов.

Аксиома 1. Пусть даны два знакоположительных ряда

, (3)
, (4)

и для хоть какого n производится условие

В данном случае, если ряд Признаки сравнения рядов. (4) сходится, то ряд (3) также сходится. Если ряд (3) расползается, то расползается и ряд (4).

Аксиома 2 (предельный признак сопоставления). Если существует конечный и хороший от нуля предел (другими словами ), то ряды (2) и (3) сразу сходятся либо сразу расползаются.

Примечание. Приведенный теоретический материал употребляется для решения задач № 1—10 контрольной работы № 9.

Пример 1.Изучить сходимость ряда Признаки сравнения рядов. .

Решение. другими словами нужный признак сходимости не производится, как следует, ряд расползается.

Пример 2.Изучить сходимость ряда , .

Решение. . По признаку Даламбера:

Ряд расползается.

Пример 3.Изучить сходимость числового ряда .

Решение. По признаку Коши найдем

Ряд сходится.

Пример 4. , . Изучить сходимость ряда .

Решение. Применим интегральный признак Коши, положив .

Эта функция удовлетворяет условиям аксиомы Коши. Вычислим интеграл

Потому Признаки сравнения рядов. что несобственный интеграл существует, то данный ряд сходится.

Пример 5. Изучить сходимость ряда

Решение. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом Пусть Потому что
то данный ряд так же, как и гармонический, расползается.

Знакочередующиеся ряды

Аксиома Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда

,

где однообразно убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится Признаки сравнения рядов.. Остаток ряда имеет символ собственного первого члена и не превосходит его по абсолютной величине.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Ряд именуется знакопеременным, если посреди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Аксиома. Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(5)

В данном случае начальный ряд именуется полностью Признаки сравнения рядов. сходящимся.

Сходящийся знакопеременный ряд именуется условно сходящимся, если ряд (5) расползается.

Степенные ряды

Если все коэффициенты степенного ряда

отличны от нуля, то радиус сходимости ряда можно отыскать по формулам:

, (6)
. (7)

В общем случае радиус сходимости степенного ряда находят, применяя признаки Даламбера либо Коши конкретно к ряду, не прибегая к формулам (6) и (7).

Интервал (–R; R Признаки сравнения рядов.) именуется интервалом сходимости ряда. Огромное количество точек, в каких ряд сходится, именуется областью сходимости степенного ряда и обозначается X. Область сходимости либо совпадает с интервалом сходимости, либо включает его с одним либо 2-мя концами.

Примечание. Приведенный теоретический материал применяется при решении задач № 11—20 контрольной работы № 9.

Пример 6.Отыскать область сходимости Признаки сравнения рядов. степенного ряда , .

Решение. . Найдем радиус сходимости ряда по формуле (6): .

Интервал сходимости ряда (–4; 4). Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При получим ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим ряд , который сходится (это ряд оборотных квадратов). Область сходимости данного ряда .

Приближенное вычисление определенных интегралов
при помощи рядов

Для вычисления поначалу функцию Признаки сравнения рядов. разлагают в степенной ряд, а потом обе части приобретенного равенства интегрируют в границах от 0 до b. При разложении функций в степенные ряды употребляют известные разложения:

ex ,

,

,

,

arctg(x) ,

Примечание. Приведенный теоретический материал применяется при решении задач № 21—30 контрольной работы № 9.

Пример 7. Вычислить определенный интеграл с точностью
до 0,001, разложив подынтегральную функцию в Признаки сравнения рядов. степенной ряд и потом проинтегрировав его почленно.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Воспользуемся уже известным рядом: . Заменив в нем
x на , получим . Умножим обе части равенства на : , отсюда

Замечаем, что 3-ий член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Как следует, для решения данной задачки, согласно признаку Лейбница, нужно взять сумму Признаки сравнения рядов. первых 2-ух членов, что обеспечит требуемую точность:

.

Примечание. Ниже приведены эталоны решения задач № 31—40 (пример 8) и № 41—50 (пример 9).

Интегрирование дифференциальных уравнений
при помощи рядов

Пример 8. Отыскать три первых, хороших от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего исходному условию .

Решение. Представим решение данного уравнения в виде ряда

. (8)

Подставив изначальное Признаки сравнения рядов. условие , в (8), получим . Продифференцируем разложение (8):

. (9)

Подставим в данное дифференциальное уравнение заместо его значение (9), а заместо – его выражение (8), взяв 1-ые три члена (в согласовании с условием задачки). Получим . Приравнивая коэффициенты при схожих степенях слева и справа последнего равенства, получим , . Потому что , то , , и решение (8) воспримет вид .

Разложение функций в ряды Фурье

Пример Признаки сравнения рядов. 9. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале
(–π; π).

Решение. Данная функция ни четная, ни нечетная, потому её коэффициенты Фурье вычисляем по общим формулам:

,

Подставив в ряд Фурье отысканные коэффициенты, получим:

.

Пример 10. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале (–4; 4).

Решение. Данная функция является нечетной. Потому ее ряд Фурье будет иметь вид:

где Признаки сравнения рядов.

При имеем: где .

Для вычисления bn воспользуемся формулой интегрирования по частям, полагая u=x, , получим

где и совсем получаем

для –4< x <4.
Личные ЗАДАНИЯ

1—10. Изучить сходимость числового ряда .

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

11—20. Отыскать область сходимости степенного ряда .

11. 16.

12. 17.

13. 18.

14. 19.

15. 20.


21—30. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и потом проинтегрировав его почленно.

21. . 26. .

22. . 27. .

23. . 28. .

24. . 29. .

25. . 30. .

31—40. Отыскать три первых Признаки сравнения рядов., хороших от нуля, члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения , удовлетворяющего исходному условию .

31. . 36. .

32. . 37. .

33. . 38. .

34. . 39. .

35. . 40. .

41—50. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале (а; b).

41. в интервале .

42. в интервале .

43. в интервале .

44. в интервале .

45. в интервале .

46. в интервале .

47. в интервале .

48. в интервале .

49. в интервале .

50. в интервале .

Библиографический Признаки сравнения рядов. перечень.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1978. — 576 с.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1985. — 471 с.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачках. Ч. 2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высшая школа, 1986. — 415 с.


pro-akcii-diskonti-pribil-i-prochee.html
pro-diferencjn-oznaki-krilatih-slv-referat.html
pro-gazeta-vechernij-peterburg-11042011-rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-12-aprelya-2011-g.html