Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

ЧИСЛОВЫЕ И Многофункциональные РЯДЫ

Числовые ряды: главные определения

Пусть задана нескончаемая последовательность чисел (реальных либо всеохватывающих)

Определение. Числовым рядом именуется выражение вида

(1)

Ряд обозначается: . Числа именуются членами ряда. Ряд (1) задан, если известен его общий член , т.е. обозначено правило, по которому каждому номеру ставится в соответствие определённое значение функции .

Определение.Сумма конечного числа первых Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами членов числового ряда именуется - й частичной суммой, т.е.

.

Разглядим последовательность частичных сумм числового ряда

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм, равный , то ряд именуется сходящимся, а именуется его суммой:

.

Если предел последовательности не существует либо равен бесконечности, то ряд именуется расходящимся.

Определение. Если в ряде (1) откинуть 1-ые членов Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами, то получится ряд:

,

именуемый остатком ряда (1) .

Простые характеристики числовых рядов. Нужный

Признак сходимости

Характеристики:

1. Если ряд сходится, то сходится и хоть какой из его остатков.
Если сходится какой-нибудь из остатков ряда, то сходится и сам ряд.

2. Если числовой ряд сходится и его сумма равна , то и ряд Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами , где – случайное число, также сходится и его сумма равна .

3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд также сходится и его сумма равна .

Нужный признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при стремлении к бесконечности, т.е.

.

Следствие. Если общий член ряда Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами не стремится к нулю при стремящемся к бесконечности, т.е. если не производится условие

,

то ряд расползается.

Замечание. Условие является нужным, но недостающим, т.е. если , то ряд может, как сходится, так и расползается. К примеру, ряд расползается, хотя .

Пример 1.Используя нужный признак сходимости, обосновать расходимость ряда .

Решение. Согласно Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами необходимому условию, если ряд сходится, то .

Имеем: .

Найдем :

Потому что не производится нужное условие сходимости ряда, то ряд расползается.

Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

1-ый признак сопоставления

Пусть и - ряды с положительными членами, причём при всех , начиная с некого , т.е. для всех . Тогда:

1) если ряд сходится, то сходится и ряд Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами ;

2) Если ряд расползается, то расползается и ряд .

2-ой признак сопоставления

Пусть и - ряды с положительными членами, при этом существует конечный и хороший от нуля предел

,

Тогда ряды и сходятся либо расползаются сразу.

Замечание 1. При использовании 1-го и 2-го признаков сопоставления, обычно, ассоциируют начальный ряд с рядами, о которых заблаговременно понятно, сходятся Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами они либо расползаются:

1) ряд Дирихле – сходится при и расползается при . При получаем ряд , именуемый гармоническим.

2) ряд вида

,

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Ряд сходится, если и расползается при .

Замечание 2. При отыскании ряда для сопоставления по второму признаку, можно в общем члене исследуемого ряда подменять нескончаемо малую функцию Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами на эквивалентную ей функцию, используя главные эквивалентности нескончаемо малых функций при :

Если в итоге подмены мы получим ряд, рассмотренный в замечании 1, то его можно взять в качестве ряда , с которым необходимо сопоставить исследуемый ряд.

Замечание 3. Вопрос о сходимости рядов вида:

,

где и – многочлены степени m и k, решается Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами методом сопоставления с рядом Дирихле , где . При всем этом целенаправлено использовать 2-ой признак сопоставления.

Признак Даламбера

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

.

Тогда при , данный ряд сходится; при – расползается.

Конкретный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

.

Тогда при , данный ряд сходится; при – расползается.

Замечание 4. Если Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами в признаках Даламбера и Коши предел не существует либо равен 1, то ряд может, как сходится, так и расползается. В данном случае требуется изучить ряд при помощи других способов.

Интегральный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами и положительная, непрерывная и однообразно убывающая на промежутке функция такая, что

Тогда ряд и Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами несобственный интеграл сходятся либо расползаются сразу.

Пример 2.Изучить сходимость ряда , используя 1-ый признак сопоставления.

Решение.Потому что , то ,

а ряд , члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем , сходится. Тогда на основании первого признака сопоставления, ряд также сходится.

Пример 3.Используя 2-ой признак сопоставления, изучить сходимость ряда: .

Решение. Имеем: .

Аналогично Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами случаю, рассмотренному в замечании 3, данный ряд можно сопоставить с рядом , где ; , который сходится, т.к. .

Применим 2-ой признак сопоставления. Для этого вычислим:

.

Потому что ряд сходится, то по второму признаку сопоставления сходится и ряд .

Пример 4.При помощи признака Даламбера изучить сходимость ряда:

.

Решение.Имеем:

.

Тогда

Как следует, по признаку Даламбера данный Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами ряд сходится.

Пример 5.При помощи признакаКошиисследовать сходимость ряда

.

Решение. Имеем:

Тогда

Как следует, по признаку Коши исследуемый ряд расползается.


priznannie-mastera-fantasticheskogo-rasskaza-i-molodie-talanti-sobralis-pod-odnoj-oblozhkoj-chtobi-podelitsya-s-chitatelyami-futuristicheskimi-prognozami-o-predelah-politkorrektnoe-stranica-14.html
priznannie-mastera-fantasticheskogo-rasskaza-i-molodie-talanti-sobralis-pod-odnoj-oblozhkoj-chtobi-podelitsya-s-chitatelyami-futuristicheskimi-prognozami-o-predelah-politkorrektnoe-stranica-7.html
priznavajte-oshibki-i-prosite-prosheniya.html